Каким должно быть отношение сторон прямоугольного листа бумаги, чтобы у половины этого листа было такое же отношение сторон?
Представим сформулированное условие в виде формулы: a/b = b/(a/2)
Отсюда находим отношение сторон: a/b = √2
У листа с таким отношением сторон имеется свойство, ценное и в делопроизводстве, и в полиграфии: сложив его пополам, мы получим лист с теми же пропорциями и, значит, также удовлетворяющий сформулированному требованию. С точки зрения геометрии, всё дело в том, что исходный прямоугольник и его половина подобны. А если листы подобны, то макет страницы, разработанный для одного из них, можно перенести на второй простым масштабированием.
Стандарты на бумажные форматы, удовлетворяющие сформулированному требованию, были введены в 20–х годах XX века. Применяются серии «А», «B», «С», каждая состоит из последовательности уменьшающихся листов. Выбор самого большого листа в серии («базового», получающего нулевой индекс), связан с той или иной нормировкой. В каждой серии лист с номером n+1 выглядит как сложенный вдвое лист с номером n.
Число √2, которое теоретически определяет отношение сторон прямоугольных листов всех номеров во всех сериях, является иррациональным. Это означает, что число нельзя представить в виде отношения двух целых чисел, а соответствующая ему десятичная дробь — бесконечная непериодическая: √2 = 1,414213562373...
На практике приходится использовать рациональные числа. В выборе форматов серий «А», «B», «С» длины сторон листов выражаются целыми числами (в миллиметрах), эти числа подобраны так, чтобы их отношение было близким к √2.
В серии «А» в качестве листа А0 взят лист, имеющий размеры 1189 × 841 мм. Размеры листа выбраны так, что его площадь (с большой точностью) равна одному квадратному метру. В повседневной жизни наиболее часто встречается формат бумаги A4. Длины сторон листа равны 297 и 210 мм, это примерно одна четвёртая часть длин сторон листа A0, площадь листа A4 — примерно 1/16 квадратного метра. При плотности стандартной офисной бумаги 80 грамм на квадратный метр, один лист весит около 5 грамм, а пачка из 500 листов — 2,5 килограмма.
В серии «B» лист B0 выбран так, что длина его меньшей стороны равна 1 метру. Чтобы отношение сторон было близко к √2, в качестве большей стороны листа принято значение 1,414 м. Область применения серии «B» — специальные разделы делопроизводства. Например, паспорт гражданина Российской Федерации имеет формат B7 — 125 × 88 мм, что соответствует рекомендациям, содержащимся в международном стандарте.
А теперь решите задачу: какой масштаб выбрать на копировальном аппарате, чтобы без потерь и без лишнего пустого места скопировать материалы с листа А4 на лист А3?
Решение:
Коэффициент подобия этих листов равен √2. Для копирования можно взять приближённое значение 1,4 и выставить на ксероксе коэффициент увеличения, равный 140%. А если надо «превратить» лист А4 в лист A5, то коэффициент уменьшения будет равен 1/√2. Замечательно, что его «рабочее» значение легко найти и без технических средств: 1/√2 = √2/2 ≈ 0,7. Значит, на ксероксе можно выставить показатель 70%.
Больше полезных и занимательных задач можно найти здесь.